Web Analytics Made Easy - Statcounter

Formler

Alla viktiga formler för linjär algebra samlade på ett ställe. Perfekt att ha som referens under studier och tentamen.

Vektorer

Skalärprodukt

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

Skalärprodukt som summa av produkter av komponenter

Skalärprodukt med vinkel

u · v = |u||v|cos θ

Skalärprodukt uttryckt med vektorernas längder och vinkeln mellan dem

Vektorlängd

|v| = √(x² + y²)

Längden av en vektor i 2D med Pythagoras sats

Vektornorm

||v|| = √(v · v)

Allmän definition av vektornorm

Enhetsvektor

v̂ = v/||v||

Normalisering av vektor till längd 1

Ortogonalitet

u ⊥ v ⟺ u · v = 0

Två vektorer är ortogonala om deras skalärprodukt är noll

Projektion

proj_u(v) = (v·u/||u||²)u

Ortogonal projektion av vektor v på vektor u

Matriser

Matrismultiplikation

(AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖbₖⱼ

Element (i,j) i produktmatris AB

Transponat

(Aᵀ)ᵢⱼ = Aⱼᵢ

Transponat: rader och kolumner byts plats

Determinant 3x3

det(A) = a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - ...

Determinant för 3x3 matris med cofaktor-expansion

Invers matris

A⁻¹ = (1/det(A))adj(A)

Invers matris med hjälp av adjungat och determinant

Cramers regel

xᵢ = det(Aᵢ)/det(A)

Lösning av linjärt ekvationssystem med determinanter

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärdesekvation

Av = λv

Grundekvationen för egenvärden och egenvektorer

Karakteristisk ekvation

det(A - λI) = 0

Ekvation för att hitta egenvärden

Egenvektorer

(A - λI)v = 0

Ekvation för att hitta egenvektorer

Diagonalisering

A = PDP⁻¹

Diagonalisering med egenvektor-matris P och diagonal-matris D

Vektorrum

Kommutativitet

u + v = v + u

Vektoraddition är kommutativ

Associativitet

(u + v) + w = u + (v + w)

Vektoraddition är associativ

Linjärkombination

v = c₁v₁ + c₂v₂ + ⋯ + cₙvₙ

Allmän linjärkombination av vektorer

Span

span{v₁, v₂, ..., vₙ}

Alla linjärkombinationer av en uppsättning vektorer

Linjärt beroende

c₁v₁ + c₂v₂ + ⋯ + cₙvₙ = 0

Definition av linjärt beroende vektorer

Bas

{v₁, v₂, ..., vₙ} är bas för V

En bas är linjärt oberoende och spänner över hela rummet

Dimension

dim(V) = n

Dimensionen är antalet vektorer i en bas

Koordinater

v = x₁e₁ + x₂e₂ + ⋯ + xₙeₙ

Representation av vektor i given bas

Linjära avbildningar

Additivitet

T(u + v) = T(u) + T(v)

Linjär avbildning preserverar addition

Homogenitet

T(cv) = cT(v)

Linjär avbildning preserverar skalning

Ekvationssystem

Ax = b

Linjärt ekvationssystem i matrisform

Kärna

ker(T) = {v ∈ V : T(v) = 0}

Alla vektorer som avbildas till nollvektorn

Bild

Im(T) = {T(v) : v ∈ V}

Alla möjliga utdata från avbildningen

Rang-nullitets sats

dim(V) = dim(ker(T)) + dim(Im(T))

Fundamentala sambandet mellan kärna och bild

Tips för att använda formlerna

Memorera grunderna

Lär dig de viktigaste formlerna utantill: derivata av x^n, e^x, sin x, cos x, och grundläggande integraler.

Förstå sambanden

Integration och derivering är omvända operationer. Derivata av integralen ger ursprungsfunktionen tillbaka.

Öva på kedjeregeln

Kedjeregeln är den mest använda regeln. Öva mycket på sammansatta funktioner och "derivata av inre gånger derivata av yttre".

Kontrollera dina svar

För derivator: derivera ditt resultat och kontrollera att du får ursprungsfunktionen. För integraler: derivera svaret.

Tänk på definitionsområden

Många formler har begränsningar. Till exempel är ln(x) bara definierad för x > 0, och tan(x) är inte definierad för x = π/2 + nπ.

Ha en systematisk approach

Identifiera funktionstypen först, välj rätt regel, visa alla steg tydligt och kontrollera resultatet till slut.