Web Analytics Made Easy - Statcounter

Grafer och visualiseringar

Utforska linjär algebra visuellt med interaktiva grafer och diagram. Perfekt för att förstå vektorer, matriser, transformationer och egenvärden.

Vektorer och operationer

Vektoraddition

u + v = (u₁+v₁, u₂+v₂)

Visualisering av vektoraddition med parallelogramregeln

Vektoraddition visualiserad med parallelogramregeln och triangelregeln.

  • Parallelogramregeln
  • Triangelregeln
  • Kommutativitet: u + v = v + u

Skalärprodukt

u · v = |u||v|cos θ

Visualisering av skalärprodukt och vinkel mellan vektorer

Skalärprodukt uttryckt genom vektorernas längder och vinkeln mellan dem.

  • Geometrisk tolkning
  • θ = 90°: ortogonala vektorer
  • Används för projektioner

Ortogonal projektion

proj_u(v) = (v·u/||u||²)u

Visualisering av ortogonal projektion av en vektor på en annan

Projektion av vektor v på vektor u, används i minsta kvadrat-metoden.

  • Ortogonal komponent
  • Parallell komponent
  • Pythagoras sats

Linjära transformationer

Rotation

R(θ) = [cos θ -sin θ; sin θ cos θ]

Visualisering av rotation som linjär transformation

Rotation av vektorer och geometriska figurer omkring origo.

  • Bevarar längder
  • Bevarar vinklar
  • Ortogonal transformation

Skalning

S = [sx 0; 0 sy]

Visualisering av skalning som linjär transformation

Skalning som förstorer eller förminskar figurer i olika riktningar.

  • Uniform skalning: sx = sy
  • Anisotrop skalning: sx ≠ sy
  • Ändrardeterminanten = sx·sy

Reflektion

Speglings-transformation

Visualisering av reflektion som linjär transformation

Reflektion över en linje genom origo, t.ex. x-axeln eller y-axeln.

  • Bevarar längder
  • Ändrar orientering
  • Determinant = -1

Egenvärden och egenvektorer

Egenvektorer

Av = λv

Visualisering av egenvektorer och deras riktning under transformation

Egenvektorer behåller sin riktning under linjär transformation.

  • Skalas med egenvärdet λ
  • Riktning bevaras
  • Kan vara positiva eller negativa

Diagonalisering

A = PDP⁻¹

Visualisering av diagonalisering och egenvektorbas

Diagonalisering gör transformationer enklare att förstå och beräkna.

  • Egenvektorbas
  • Diagonalmatris D
  • Förenklad analys

Vektorrum och underrum

Linjärkombinationer

v = c₁v₁ + c₂v₂

Visualisering av linjärkombinationer av vektorer

Alla möjliga linjärkombinationer av vektorer skapar ett underrum.

  • Span av vektorer
  • Linjärt oberoende
  • Bas för underrum

Basis och dimension

dim(V) = antal basisvektorer

Visualisering av basis och dimension för vektorrum

En bas är en minimal uppsättning vektorer som spänner över hela rummet.

  • Linjärt oberoende
  • Spänner över V
  • Alla baser har samma antal vektorer

Ortogonala underrum

U ⊥ W

Visualisering av ortogonala underrum och deras relation

Ortogonala underrum har noll skalärprodukt mellan alla vektorpar.

  • Direkt summa: V = U ⊕ W
  • Ortogonal projektion
  • Minsta kvadrat-approximation