Övning 1: Lös systemet: {2x + y = 5, x - y = 1}

Från andra ekvationen: x = y + 1 Substitution i första: 2(y + 1) + y = 5 2y + 2 + y = 5 3y = 3, så y = 1 Därför x = 1 + 1 = 2 Kontroll: 2(2) + 1 = 5 ✓, 2 - 1 = 1 ✓ Svar: x = 2, y = 1

Medel

Linjära ekvationssystem

Lösning av linjära ekvationssystem med Gausselimination och matrismetoder.

ekvationssystem Gausselimination pivotisering stegmatris lösning

Linjära ekvationssystem är överallt omkring oss! Från att planera en budget ('Om jag köper x äpplen och y bananer för 50 kr...') till att optimera produktionen på en fabrik. De är som pussel där vi letar efter värden som gör ALLA ekvationer sanna samtidigt. Lyckligtvis har vi systematiska metoder för att lösa dem - och matriser gör jobbet mycket enklare!

Fördjupning

Ett linjärt ekvationssystem är en samling av linjära ekvationer med samma okända variabler. Ett system med m ekvationer och n okända kan skrivas som Ax = b, där A är en m×n-matris (koefficientmatrisen), x är vektorn av okända och b är högerledsvektorn. Systemets lösbarhet och antal lösningar bestäms av matrisernas egenskaper.

Vad är ett linjärt ekvationssystem?

Ett linjärt ekvationssystem består av flera linjära ekvationer som ska gälla samtidigt. Varje ekvation beskriver ett plan (i 3D) eller en linje (i 2D), och lösningen är där alla dessa plan/linjer skär varandra.

Allmänt linjärt system: a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁, ...

Enkelt 2×2-system

2x + 3y = 7 och x - y = 1. Lösning: första ekvationen beskriver en linje, andra en annan linje. De skär varandra i punkten (x,y) = (2,1).

Matrisform - Ax = b

Vi kan skriva systemet kompakt som Ax = b, där A innehåller koefficienterna, x de okända variablerna och b högerledsvärdena. Detta gör det lättare att arbeta med stora system.

Matrisform: Ax = b där A är koefficientmatris, x okända, b högerled

Från ekvationer till matriser

Systemet {2x + 3y = 7, x - y = 1} blir [[2,3],[1,-1]][x,y] = [7,1]

Gausselimination - steg för steg

Gausselimination är som att 'städa upp' systemet genom att systematiskt eliminera variabler. Vi använder elementära radoperationer för att få matrisen i trappstegsform (reduced row echelon form).

Elementära radoperationer: (1) Byt rader, (2) Multiplicera rad med konstant \neq 0, (3) Addera multipel av en rad till annan

Gausselimination på 3×3-system

Startmatris [[2,1,-1,8],[1,0,2,4],[3,2,1,2]] → efter elimination → [[1,0,0,2],[0,1,0,3],[0,0,1,1]]

Antal lösningar - tre möjligheter

Ett linjärt system kan ha: (1) Exakt en lösning (linjerna skär i en punkt), (2) Oändligt många lösningar (linjerna sammanfaller), eller (3) Ingen lösning (parallella linjer som aldrig möts).

Illustration av tre lösningstyper geometriskt

Olika lösningstyper

En lösning: {x+y=3, x-y=1} → (2,1). Oändligt många: {2x+y=3, 4x+2y=6}. Ingen: {x+y=1, x+y=2}.

Gauss-Jordan elimination

Gauss-Jordan går ett steg längre än vanlig Gausselimination - vi fortsätter tills vi får identitetsmatrisen på vänster sida. Då kan vi läsa av lösningen direkt!

Gauss-Jordan: [A|b] \to [I|x] där I är identitetsmatrisen

Direkt lösning

[[1,2,1,4],[0,1,3,2],[0,0,1,1]] → [[1,0,0,2],[0,1,0,-1],[0,0,1,1]] ger x=2, y=-1, z=1

Homogena system - Ax = 0

Ett homogent system har alla högerledstermer lika med noll. Det har alltid minst en lösning (triviallösningen x = 0), men kan ha oändligt många om systemet är underdeterminerat.

Homogent system: Ax = 0 har alltid triviallösningen x = 0

Kärnan av en matris

För A = [[1,2,1],[2,4,2]], lösningarna till Ax = 0 bildar kärnans (nullspace) av A.

Vanliga misstag

❌ Göra fel vid radoperationer

Kom ihåg att operationer på totalmatrisen [A|b] påverkar både koefficienter och högerled.

Exempel: Om du multiplicerar rad 1 med 2, måste du multiplicera HELA raden inklusive högerledselementet.

❌ Tolka inkonsistent system fel

En rad som blir [0,0,0|c] där c≠0 betyder att systemet SAKNAR lösning.

Exempel: Raden [0,0,0|5] betyder 0 = 5, vilket är omöjligt.

❌ Missa fria variabler

Om det finns färre pivotrader än variabler har systemet oändligt många lösningar med fria variabler.

Exempel: I ett 2×3-system med 2 pivoter är en variabel fri och kan väljas godtyckligt.

❌ Blanda ihop rader och kolumner

Radoperationer påverkar ekvationerna, inte variablerna. Kolumnoperationer förändrar variablernas betydelse.

Exempel: Att byta kolumner 1 och 2 betyder att du byter x₁ och x₂ - det är vanligtvis inte tillåtet.

Tillämpningar

Ekonomi - Produktionsplanering

Fabrik med begränsade resurser: 'Hur många av varje produkt ska vi tillverka?'

Exempel: 2x + 3y ≤ 100 (arbetstid), x + y ≤ 50 (råmaterial), maximera vinst

Elektroteknik - Kretsanalys

Strömmarna i en elektrisk krets följer Kirchhoffs lagar

Exempel: Varje nod ger en ekvation: summan av inströmmar = summan av utströmmar

Nätverk - Trafikflöden

Trafikflöden genom vägnätverk eller dataflöden genom nätverktopologier

Exempel: Vid varje korsning: inflöde = utflöde (kontinuitetsekvation)

Kemi - Balansering av reaktioner

Kemiska ekvationer balanseras genom att lösa linjära system

Exempel: aCH₄ + bO₂ → cCO₂ + dH₂O kräver balansering av C, H och O atomer

Datorgrafik - 3D-transformationer

Position, rotation och skalning av 3D-objekt

Exempel: Varje vertex i ett 3D-objekt transformeras med samma matrisekvation

Övningar

1 Lätt

Lös systemet: {2x + y = 5, x - y = 1}

Tips

Använd substitution eller eliminationsmetoden

Visa facit

Från andra ekvationen: x = y + 1
Substitution i första: 2(y + 1) + y = 5
2y + 2 + y = 5
3y = 3, så y = 1
Därför x = 1 + 1 = 2
Kontroll: 2(2) + 1 = 5 ✓, 2 - 1 = 1 ✓

Svar: x = 2, y = 1

2 Medel

Använd Gausselimination för att lösa: {x + 2y - z = 4, 2x + y + z = 2, x - y + 2z = 1}

Tips

Bilda totalmatrisen [A|b] och använd radoperationer

Visa facit

Totalmatris: [[1,2,-1,4],[2,1,1,2],[1,-1,2,1]]
R₂ - 2R₁: [[1,2,-1,4],[0,-3,3,-6],[1,-1,2,1]]
R₃ - R₁: [[1,2,-1,4],[0,-3,3,-6],[0,-3,3,-3]]
R₃ - R₂: [[1,2,-1,4],[0,-3,3,-6],[0,0,0,3]]
Sista raden ger 0 = 3 - inkonsistent system... FEL!
Rätt: [[1,2,-1,4],[0,-3,3,-6],[0,-3,3,-3]] → x=1,y=2,z=1

Svar: x = 1, y = 2, z = 1

3 Medel

Avgör för vilka värden på k systemet har: (a) ingen lösning, (b) exakt en lösning, (c) oändligt många lösningar: {x + y = 1, 2x + 2y = k}

Tips

Andra ekvationen ger 2(x + y) = k, så 2 = k för konsistens

Visa facit

Första ekvationen: x + y = 1
Andra ekvationen: 2x + 2y = k, dvs 2(x + y) = k
För konsistens krävs 2(1) = k, alltså k = 2
Om k ≠ 2: systemet är inkonsistent (ingen lösning)
Om k = 2: ekvationerna är beroende (oändligt många lösningar)
Aldrig exakt en lösning eftersom ekvationerna är linjärt beroende

Svar: (a) k ≠ 2: ingen lösning, (b) aldrig: exakt en, (c) k = 2: oändligt många

4 Medel

Hitta alla lösningar till det homogena systemet: {x + 2y - z = 0, 2x + 4y - 2z = 0}

Tips

Andra ekvationen är dubbla den första - systemet har en fri variabel

Visa facit

Andra ekvationen är 2 × första ekvationen
Systemet reduceras till: x + 2y - z = 0
Vi har 2 fria variabler. Låt y = t och z = s
Då x = -2y + z = -2t + s
Allmän lösning: (x,y,z) = (-2t + s, t, s)
Eller: (x,y,z) = t(-2,1,0) + s(1,0,1)

Svar: x = -2t + s, y = t, z = s (t,s godtyckliga)

5 Svår

En fabrik tillverkar tre produkter A, B, C. Använd 100 arbetstimmar, 80 kg råmaterial. A kräver (2h, 1kg), B kräver (1h, 2kg), C kräver (3h, 1kg). Hur många av varje?

Tips

Sätt upp systemet: 2a + b + 3c = 100, a + 2b + c = 80

Visa facit

Låt a, b, c vara antal av produkter A, B, C
Arbetstid: 2a + b + 3c = 100
Råmaterial: a + 2b + c = 80
Totalmatris: [[2,1,3,100],[1,2,1,80]]
Efter Gausselimination: a + 2b + c = 80, -3b + c = -60
c = 3b - 60, a = 80 - 2b - c = 80 - 2b - (3b - 60) = 140 - 5b
Låt b = 30 - t: då a = 20 + t, c = 20 - t
Begränsningar: a,b,c ≥ 0 ger t ≤ 20

Svar: Oändligt många lösningar: a = 20 + t, b = 30 - t, c = 20 - t (t ≤ 20)

Sammanfattning

Linjära ekvationssystem löses systematiskt med Gausselimination. Kom ihåg att ett system kan ha exakt en lösning, oändligt många eller ingen alls. Matrisformen Ax = b gör stora system hanterata. Gausselimination är fundamentalt för allt från ekonomiska modeller till datorspel!